集合习题
前言
基础习题
分析:\(\{0,3,4,5\}\)
分析:\(\{2,5,6\}\)
分析:\(\{(0,6),(1,5),(2,2)\}\)
①\(A\not\subset B\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in A\),有\(x\not\in B\);②\(A\not\subset B\) \(\Leftrightarrow\) \(A\cap B=\varnothing\);
③\(A\not\subset B\) \(\Leftrightarrow\) \(B\not\subset A\);④\(A\not\subset B\) \(\Leftrightarrow\) \(\exists x\in A\),使得\(x\not\in B\);
其中真命题的序号是_____________;
分析:举反例即可,若\(A=\{1,2,3\}\),\(B=\{1,2,4,5\}\),则满足\(A\not\subset B\),但是\(1\in A\)且\(1\in B\),\(A\cap B=\{1,2\}\),故①②是假命题;
若\(A=\{1,2,4\}\),\(B=\{1,2\}\),满足\(A\not\subset B\),但是\(B\subseteq A\),则③是假命题,故只有④是真命题。
解析:由于 \(A\subsetneqq B\) ,则 \(a=-1\) 或 \(a=a^2\) ;
当 \(a=-1\) 时,集合 \(B\) 不满足元素互异性,故排除;
当 \(a=a^2\) 时,\(a=0\) 或 \(a=1\),当 \(a=1\) 时,集合 \(B\) 也不满足元素互异性,故排除;
故 \(a=0\),则选 \(A\) .
解析:初次学习,我们往往弄不清楚应该如何限制,其实将 \(x=2k\) 从函数的角度来理解,那么只需要限制自变量即可,即 \(\{x\mid x=2k , k\in N^{*},k<6 \}\),或者写成 \(\{x\mid x=2k , k=1,2,3,4,5\}\),或者 \(\{x\in N\mid x=2k , k\in N^{*},k<6 \}\),或者 \(\{x\in Z\mid x=2k , k\in N^{*},k<6 \}\) .
中档题目
分析:集合\(A\)为定集,集合\(B\)为动集,又因为出现了条件\(B\subseteq A\),故需要针对集合\(B\)分类讨论如下:
1、当集合\(B=\varnothing\)时用不等式表示的集合,其左端点值超过右端点值,则此不等式表示空集。若左端点值不超过右端点值,则其不是空集。,则有\(m+1\ge 2m-1\),解得\(m\leq 2\);
2、当集合\(B\neq\varnothing\)时,必须满足三个条件,即 \(\left\{\begin{array}{l}{m+1< 2m-1}\\{ -2 \leq m+1}\\{2m-1 \leq7}\end{array}\right.\),解得\(2<m\leq 4\);
综上所述:实数\(m\)的取值范围是\(\{m\mid m\leq 4\}\)。
分析:自行画出草图可知,若存在满足题意的实数\(m\),则必满足条件\(\begin{cases} m+1 < -2 \\ 2m-1 >7\end{cases}\),解得\(m\in \varnothing\)。故这样的实数不存在。
分析:自行画出草图可知,先列出条件\(\begin{cases}&m+1\leq-2\\&1-2m \ge 7\end{cases}\),解得\(m\leq -3\),
接下来验证\(m=-3\)是否满足题意。
当\(m=-3\)时,\(A=[-2,7]\),\(B=[m+1,1-2m]=[-2,7]\),此时\(A=B\),
不满足题意,舍去,故实数\(m\)的取值范围为\(\{m\mid m<-3\}\)。
分析:本题目就对应相等的方向上有\(A\rightarrow B\)和\(B\rightarrow A\)两个方向,但是由\(B\rightarrow A\)比较简单,故求解如下
由\(0=2x\),推出集合A中分母为0,故只能是\(0=\cfrac{y-1}{x}\),故\(y=1\),此时集合\(A=\{2x,0,1\}\),集合\(B=\{x^2,x+1,0\}\),这时候的对应要么\(2x=x^2\)要么\(2x=x+1\),
当\(2x=x^2\)时,解得\(x=0或x=2\),当\(x=2\)时,集合\(A=\{4,0,1\}\),集合\(B=\{4,3,1\}\),验证都不满足题意;
当\(2x=x+1\)时,解得\(x=1\),验证得到此时\(A=\{2,0,1\}=B=\{1,2,0\}\),满足题意,则\(x=1\),故\(x+y=2\)。
分析:应该比较容易想到\(M\cap N\)的元素个数就是两个函数的图像的交点个数,但难点是这两个函数图像的交点,绝大多数学生会画错的,在\(x<0\)处有一个交点,在\(x>0\)处应该有两个交点,因为\(x=2\)或\(x=4\)时,\(x^2=2^x\)。故所求的元素个数是\(3\)个。
分析:由题目可知,本题实质是求集合\(A\)的所有子集的个数,故有\(2^3=8\)个。
分析:由于要求\(A\cup B=\{-1,0,1\}\),故集合\(B\)的构成分为两步:第一步必须选必选元素\(0\),第二步从可选元素\(-1,1\)中分别选出\(0\)个,\(1\)个,\(2\)个元素,即就是求集合\(\{-1,1\}\)的所有子集的个数,故有\(2^2=4\)个。
分析:由于给定的方程\(ax^2-3x+2=0\)是仿二次方程,故需要针对\(a\)分类讨论:
当\(a=0\)时,\(x=\cfrac{2}{3}\),此时\(A=\{\cfrac{2}{3}\}\)满足题意;
当\(a\neq 0\)时,二次方程必须有两个相等的根,由\(\Delta=0\)得到\(a=\cfrac{9}{8}\),
故\(a=0\)或\(a=\cfrac{9}{8}\)。
(1)求\(a\)的值,并写出\(A\)的所有子集。
(2)若集合\(B=\{x\in R\mid x^2+(m-3)x+m=0\}\),\((C_RA)\cap B=\varnothing\),求实数\(m\)的集合。
【解析】(1)因为\(1\in A\),所以\(2×1^2+a×1-a^2=0\),解得\(a=-1\)或\(a=2\)
当\(a=2\)时,\(A=\{1,-2\}\),与已知\(-2\not\in A\)矛盾,所以\(a\neq 2\)
当\(a=-1\)时,\(A=\{ x\in R\mid 2x^2-x-1=0\}=\{1,-\cfrac{1}{2}\}\),符合题意。
所以A的所有子集为\(\varnothing\),\(\{1\}\),\(\{-\cfrac{1}{2}\}\),\(\{1,-\cfrac{1}{2}\}\)。
(2)因为\((C_RA)\cap B=\varnothing\),所以\(B\subseteq A\),由于方程\(x^2\)\(+\)\((m-3)x\)\(+\)\(m\)\(=\)\(0\)的判别式\(\Delta\)\(=\)\((m-3)^2\)\(-4m\)\(=\)\(m^2\)\(-10m\)\(+\)\(9\),所以按照判别式的符号分类讨论如下:
①当\(\Delta<0\)即\(1<m<9\)时,集合B为空集,符合题意。
②当\(\Delta=0\)即\(m=1\)或\(m=9\)时,若\(m=1\),则\(B=\{1\}\),符合题意,若\(m=9\),则\(B=\{-3\}\),不符合题意,舍去。
③当\(\Delta>0\)即\(m<1\)或\(m>9\)时,集合\(B\)有两个元素,所以\(B=A\),所以\(\begin{cases}-\cfrac{1}{2}+1=-(m-3)\\(-\cfrac{1}{2})\times1=m\end{cases}\)矛盾,舍去。所以实数\(m\)的值构成的集合为\([1,9)\)。
【解析】选\(D\),由\(x \in A\),\(y \in A\)得\(x-y=0\)或\(x-y=\pm1\)或\(x-y=\pm2\)或\(x-y=\pm3\)或\(x-y=\pm4\),
所以集合\(B=\{(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3), (5,3),(5,4)\}\),
所以集合\(B\)有10个元素。
分析:由题目可知,集合\(A\)有且仅有两个子集,说明集合\(A\)应该为单元素集合,从而说明仿二次方程\((k+2)x^2+2kx+1=0\),可能有一次方程和二次方程两种情形。
当\(k=-2\)时,原方程变形为一次方程\(-4x+1=0\),仅有一个解,适合题意;
当\(k\neq -2\)时,原方程要仅有一个解,则必须\(\Delta =0\),即\((2k)^2-4\cdot(k+2)\cdot 1=0\),解得\(k=2\)或\(k=-1\),满足题意,
综上所述,实数\(k\)的取值为\(\pm 2或-1\),故选\(D\)。
分析:由于\(x,y\in M\),集合\(M=\{0,1,2\}\),故点\((x,y)\)的所有取值情形有\(9\)种,
即有\((0,0)\),\((0,1)\),\((0,2)\),\((1,0)\),\((1,1)\),\((1,2)\),\((2,0)\),\((2,1)\),\((2,2)\),
将其分别代入条件\(x-2y+1\ge 0\)和\(x-2y-1\leq 0\)验证,可知,\(N=\{(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)\}\),
故集合\(N\)的非空真子集的个数为\(2^4-2=14\),选\(B\)。
分析:由\(a+2\leq 2\)且\(a\ge -\cfrac{1}{2}\),得到\(a\in [-\cfrac{1}{2},0]\),故选\(B\)。
分析:训练解不等式和集合运算,选\(C\).
提示:\(A\cap B=\{1,2\}\),故选\(D\).
分析:训练解不等式和集合运算,选\(C\).
分析:\(A\cup B=(-1,2)\),由题目可知\((-1,2)\subseteq C\),集合\(C=\{x\mid mx+1>0\}\),
当\(m>0\)时,\(x>-\cfrac{1}{m}\),则\(C=(-\cfrac{1}{m},+\infty)\),则\(-\cfrac{1}{m}\leqslant -1\),解得\(m\leqslant 1\),故\(0<m\leqslant 1\);
当\(m=0\)时,\(C=R\),满足题意;
当\(m<0\)时,\(x<-\cfrac{1}{m}\),则\(C=(-\infty,-\cfrac{1}{m})\),则\(-\cfrac{1}{m}\geqslant 2\),解得\(m\geqslant -\cfrac{1}{2}\),故\(-\cfrac{1}{2}\leqslant m <0\);
综上所述,实数\(m\)的取值范围是\([-\cfrac{1}{2},1]\);
分析:由题目可知,\((x-a)(x-1)<0\),
当\(a=1\)时,解集为\(\varnothing\),满足解集中至多包含\(2\)个整数,符合题意;
当\(a>1\)时,解集为\((1,a)\),若要解集中至多包含\(2\)个整数,则需要\(a\leqslant 4\),故\(1<a\leqslant 4\);
当\(a<1\)时,解集为\((a,1)\),若要解集中至多包含\(2\)个整数,则需要\(a\geqslant -2\),故\(-2\leqslant a < 1\);
综上所述,实数\(a\)的取值范围是\([-2,4]\);
拔高习题
分析:集合\(P\)中分别有50个元素,\(Q\)中分别有3个元素,两两相乘,不计重复共有\(50\times 3=150\)个元素,其中重复元素可以这样统计:
当\(x\in P,y=2\)时,\(xy\)一定时偶数,而\(x\in P,y=3\)与\(x\in P,y=5\)时的\(xy\)值为奇数,二者不会重复;
但是\(x\in P,y=3\)与\(x\in P,y=5\)时的\(xy\)值都是奇数,有可能重复;具体的重复的个数计算如下:
令\(3(2k_1-1)=5(2k_2-1)\),\(k_1,k_2\in N^*,1\leq k_1,k_2\leq 50\),变形为\(k_2=\cfrac{3k_1+1}{5}\),当\(k_1=3,8,13,18,23,28,33,38,43,48\)时,对应的\(k_2\in N^*\),故重复的元素有10个,故集合\(T=\)中元素的个数为\(150-10=140\)个。
分析:集合\(A\)表示圆心在\((1,0)\),半径为\(1\)的圆,集合\(B\)表示直线\(x+y+m=0\)的右上方区域,要使得\(A\subseteq B\),
则圆要在直线\(x+y+m=0\)的右上方区域,则圆心到直线的距离\(d=\cfrac{|1+0+m|}{\sqrt{2}}\geqslant 1\),解得\(m\geqslant \sqrt{2}-1\),或者\(m\leqslant -\sqrt{2}-1\),
结合图形舍去\(m\leqslant -\sqrt{2}-1\),故\(m\geqslant \sqrt{2}-1\),即所求范围为\(m\in [\sqrt{2}-1,+\infty)\).
(1).\(0\in A\),\(1\in A\);
(2).对任意\(x,y\in A\),\(x+y\in A\),\(x-y\in A\),\(xy\in A\),\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\),则称\(A\)为一个数域,那么命题:
①有理数集\(Q\)是一个数域;
②若\(A\)为一个数域,则\(Q\subseteq A\);
③若\(A\),\(B\)都是数域,则\(A\cap B\)也是一个数域;
④若\(A\),\(B\)都是数域,则\(A\cup B\)也是一个数域;
其中真命题的序号为___________。
欲理解如下:比如整数集\(Z\)就不是一个数域,整数集\(Z\)满足\(0\in Z\),\(1\in Z\);但是不满足条件二,比如\(1\in Z\),\(2\in Z\),但是\(\cfrac{1}{2}\not\in Z\),故整数集\(Z\)不是一个数域;同理,自然数集\(N\)不是数域[同理\(\cfrac{1}{2}\not\in N\),],无理数集\(C_RQ\)不是数域[比如\(\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\not\in C_RQ\)];
详细分析如下:
对于①而言,有理数集\(Q\)显然满足条件一,对于任意两个有理数,其四则运算的结果一定是有理数,则满足条件二,故有理数集\(Q\)是一个数域;即①正确;且有理数集\(Q\)是最小的数域;
对于②而言,理解了有理数集\(Q\)是最小的数域,则容易知道②正确;
[解释:由于\(A\)为数域,则\(0\in A\),\(1\in A\),则对任意正整数\(m\in Z^+\),必然有\(m=1+1+1+\cdots \in A\),进而能得到整数集;继而对\(\forall m,n\in z^+\),\(m\pm n\in A\),\(mn\in Q\),\(\pm \cfrac{m}{n}\in A\),显然后半部分构成了分数集;而任意一个有理数可表成两个整数的商,故\(Q\in A\)]
对于③而言,正确,令\(C=A\cap B\),则由\(A\),\(B\)都是数域,则\(0,1\in A\)且\(0,1\in B\),故\(0,1\in C\);又由于对任意\(x,y\in A\),对任意\(x,y\in B\),则一定有\(x+y\in A\),\(x-y\in A\),\(xy\in A\),\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)且一定有\(x+y\in B\),\(x-y\in B\),\(xy\in B\),\(\cfrac{x}{y}\in B(y\neq 0)\),故必然有\(x+y\in C\),\(x-y\in C\),\(xy\in C\),\(\cfrac{x}{y}\in C(y\neq 0)\),即\(C\)满足条件一和二,故\(C\)是数域,也就是\(A\cap B\)是数域,故③正确;
对于④而言,我们前面说明无理数集不能构成数域,但是形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的无理数集合却是可以构成数域的,说明如下:
令\(a=b=0\),则\(0\in M\),令\(a=1,b=0\),则\(1\in M\),故满足条件一;
任取集合\(M\)中的两个数\(a_1+\sqrt{2}b_1(a_1,b_1\in Q)\)和\(a_2+\sqrt{2}b_2(a_2,b_2\in Q)\),
容易说明他们的和与差\((a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)\sqrt{2}\in M\),
其乘积\((a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2+\sqrt{2}b_2)=\cdots=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}\in M\),
其商(说明一个即可)\(\cfrac{a_1+\sqrt{2}b_1}{a_2+\sqrt{2}b_2}=\cfrac{(a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2-\sqrt{2}b_2)}{(a_2+\sqrt{2}b_2)(a_2-\sqrt{2}b_2)}=\cfrac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(-a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}}{a_2^2-2b_2^2}\in M\)
即集合\(M\)满足条件二;综上所述,形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的无理数集合可以构成数域,
为了说明④错误,我们取\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\),\(N=\{a+\sqrt{3}b (a,b\in Q)\}\),
此时容易说明\(1+\sqrt{2}\)和\(1+\sqrt{3}\)的和\(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\)并不在其并集\(M\cup N\)中,
故若\(A\),\(B\)都是数域,则\(A\cup B\)却不一定是数域;故④错误;
综上所述,正确命题的序号为①②③;
对应练习
[解析] 解方程\(x-\cfrac{1}{x}=0\),得\(x=1\)或\(x=-1\),所以\(A=\{1,-1\}\),又\(A\cup B=\{-1,0,1\}\),
所以\(B=\{0\}\)或\(\{0,1\}\)或\(\{0,-1\}\)或\(\{0,1,-1\}\),故集合\(B\)共有\(4\)个,故选\(C\).
提示:仿一次方程,分类讨论,选\(D\).
法1:直接法,\(A=[-2,5]\),\(B=[m+1,2m-1]\),
由于\(A\cap B\neq \varnothing\),则\(B\neq \varnothing\),
则\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant m+1\leqslant 5}\end{array}\right.\)①或\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant 2m-1\leqslant 5}\end{array}\right.\)②,
解①得到,\(2\leqslant m\leqslant 4\);解②得到,\(2\leqslant m\leqslant 3\);
求其并集,得到\(2\leqslant m\leqslant 4\);故选\(C\);
法2:间接法,\(A=[-2,5]\),\(B=[m+1,2m-1]\),先求\(A\cap B=\varnothing\),
①当\(B=\varnothing\)时,则\(m+1>2m-1\),解得\(m<2\);
②当\(B\neq \varnothing\)时,要使得\(A\cap B=\varnothing\),
则\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{m+1>5}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{2m-1<-2}\end{array}\right.\)
解得\(m>4\),
综上可知,\(A\cap B=\varnothing\)时,\(m<2\)或\(m>4\),
故\(A\cap B\neq\varnothing\)时,\(2\leqslant m\leqslant 4\),故选\(C\);
提示:由\(A\cap B=B\),得到\(B\subseteq A\);分类讨论如下:
当\(B=\varnothing\),\(\Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)<0\),解得\(a<-1\);
当\(B\)为单元素集时,即\(B=\{0\}\)或\(B=\{-4\}\),详述如下,
当\(B=\{0\}\)时,将\(x=0\)代入方程得到\(a^2-1=0\),解得\(a=1\)或者\(a=-1\),
接下来验证如下,当\(a=1\)时,\(B=\{0,-4\}\),不符前提\(B=\{0\}\),故舍去;再验证\(a=-1\)时,\(B=\{0\}\),符合前提\(B=\{0\}\);
当\(B=\{-4\}\)时,将\(x=-4\)代入方程得到\(a^2-8a+7=0\),解得\(a=1\)或者\(a=7\),
接下来验证如下,当\(a=7\)时,\(B=\{-4,-12\}\),不符前提\(B=\{-4\}\),故舍去;再验证\(a=1\)时,\(B=\{0,-4\}\),不符合前提\(B=\{-4\}\),故舍去;
即\(B=\{0\}\)时,\(a=-1\)符合题意;
当\(B\)为双元素集时,即\(B=\{0,-4\}\)时,由根与系数关系得到,
\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4(a^2+1)-4(a^2-1)>0①}\\{x_1+x_2=-2(a+1)=-4②}\\{x_1x_2=a^2-1=0③}\end{array}\right.\)
最快的解法是口算②式,得到\(a=1\),代入③式口算验证成立,再代入①式口算验证成立,故上述混合组的结果为\(a=1\).
综上所述,得到参数的取值范围是\(a\in(-\infty,-1]\cup \{1\}\).
转化划归
能转化为集合的包含与否关系的题目
- 充分不必要、必要不充分的转化;
【解析】先化简命题\(p\),由\((x-m)^2>3(x-m)\),得到\(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\),
即\(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\),即\((x-m)[x-(m+3)]>0\),
则有\(p:x>m+3\)或\(x<m;q:-4<x<1\);
因为\(p\)是\(q\)成立的必要不充分条件,则\(\{x\mid-4<x<1\}\subseteq \{x\mid x>m+3或x<m\}\),
所以\(m+3≤-4\)或\(m≥1\),即\(m≤-7\)或\(m≥1\),
故\(m\)的取值范围为\((-\infty,-7]\cup[1,+\infty)\)。
- 已知函数的单调区间,求参数的取值范围(参数包含在给定区间的端点处)。
法1:集合法,先用导数的方法求得函数\(f(x)\)的单调递减区间,\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\),
令\(f'(x)<0\),解得\(x\in (-2,1)\),即其单调递减区间为\([-2,1]\),此处必须写成闭区间,否则会丢掉参数的个别取值。
而题设又已知函数在\([a,a+1]\)上单调递减,故\([a,a+1]\subseteq [-2,1]\),即问题转化为集合的包含关系问题了。
此时只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a}\\{a+1\leqslant 1}\end{array}\right.\),解得\(-2\leqslant a\leqslant 0\),
故参数\(a\)的取值范围为\([-2,0]\)。
法2:导数法,由题设可知,\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\),由于函数在区间\([a,a+1]\)上单调递减,
则\(f'(x)=3(x+2)(x-1)\leq 0\)在区间\([a,a+1]\)上恒成立,则\(\left\{\begin{array}{l}{f'(a)\leqslant 0}\\{f'(a+1)\leqslant 0}\end{array}\right.\)
即\(\left\{\begin{array}{l}{3(a+2)(a-1)\leqslant 0}\\{3(a+3)a\leqslant 0}\end{array}\right.\),解得\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a\leqslant 1}\\{-3\leqslant a\leqslant 0}\end{array}\right.\),则\(a\in [-2,0]\)。